一维无限深方势阱的势如\figref{fig:One-DimensionalSquarePotentialWell20240816000329}表示为
\begin{equation}
    V(x) = \begin{cases}
        0,       & |x|<a    \\
        +\infty, & |x|\le a
    \end{cases}
\end{equation}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figure/One-DimensionalSquarePotentialWell20240816000329.jpg}
    \caption{一维方势阱\label{fig:One-DimensionalSquarePotentialWell20240816000329}}
\end{figure}

对I和III区,由于位势为无穷大,此处波函数为0.只需求解II区.

显然,在第II区$|x|<a$内方程通解为
$$
    \psi(x)=A \sin (k x+\alpha) \quad\left(k=\sqrt{\frac{2m E}{\hbar^2}}\right)
$$
这里有两个待定系数$A, \alpha$和一个待定参数$k$ ( $k$的数值决定阱中粒子能量).
为了确定它们,利用两个边界条件$\psi( \pm a)=0$ (加上总概率归一条件,一共也是三个),即
$$
    \begin{cases}
         & \sin(k a+\alpha)=0  \\
         & \sin(-k a+\alpha)=0
    \end{cases}
$$
由此得$\alpha=k a=\frac{n}{2} \pi(n=1,2,3, \cdots)$.最后,阱中粒子的能级和波函数分别为
$$
    E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{8m a^2} \quad(n=1,2,3, \cdots)
$$

$$
    \psi_n(x)= \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{a}} \sin
        \left[\frac{n \pi}{2a}(x+a)\right] & (|x|<a)           \\
        0                                  & (|x| \geqslant a)\end{cases}
$$
这虽然是一个最简单的例子,鉴于曾经有过分歧和争论,需要作一些讨论说明:

\par 当$n=1,3,5, \cdots$为奇数时,波函数是对称的(偶宇称)
$$
    \psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{a}} \cos \frac{n \pi x}{2a}
$$
\par 当$n=2,4,6, \cdots$为偶数时,波函数是反对称的(奇宇称)
$$
    \psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{a}} \sin \frac{n \pi x}{2a}
$$

\par (波函数前已略去无关紧要的整体相因子).
各能级波函数节点(零点,不计两个端点$\pm a)$的个数为:基态$(n=1)$无节点,
第一激发态$(n=2)$有一个节点等.而且可以看出,
阱中各能级波函数按$n+1$的奇偶性区分为奇函数和偶函数,就是说有
$$
    \psi_n(-x)=(-1)^{n+1} \psi_n(x)
$$

\begin{note}
    由于边界条件的存在,并不是动能算符的本征函数。其实，阱内任何定态
    都是各种动能（及动量）本征态的叠加态,它们由势阱约束着不弥散
    而成为定态（否则将呈现自由波包弥散）。
\end{note}

\begin{note}
    一维无限深势阱是量子力学中的一个基本模型，广泛应用于多个领域。以下是一些主要的应用：
    \begin{itemize}
        \item 作为量子力学的入门模型，它帮助学生理解波函数、能级量子化和粒子的行为。
        \item 在固态物理中，该模型用于描述半导体和纳米材料中电子的行为，尤其是在低维系统（如量子点）中。
        \item 通过分析势阱内粒子的能级，可以预测和解释分子的光谱特征，这对于化学和材料科学非常重要。
        \item 在某些情况下，超导体中的电子可以被视为在无限深势阱中运动，从而帮助理解超导机制。
        \item 该模型可用于研究低温下系统的热性质，例如比热容等。
        \item 在设计量子比特时，一维无限深势阱可以用来模拟和实现特定的量子状态。
        \item 在声学中，类似的模型可用于研究声波在有限空间内的传播特性，比如音箱或管道中的声波模式。
    \end{itemize}
\end{note}
